Збереження показників генерального росту при малих нелінійних збурень стохастичних еволюційних рівнянь

Abstract

UA: Розглянута система 𝑑𝑥 = 𝐴𝑥𝑑𝑡 у сепарабельному гільбертовому просторі H з лінійною частиною, що породжується обмеженим оператором A на піввісі t ≥ 0. Випадкове збурення задається Q-вінерівським процесом, а нелінійні доданки задовольняють умови глобальної ліпшицевості та асимптотичної малості. Встановлено, що за виконання цих умов, верхні середньоквадратичні показники Ляпунова розв’язків збуреної системи належать спектру лінійного оператора 𝑅𝑒(𝜎(𝐴)). Таким чином встановлено, що спектр Ляпунова не розширюється: нові асимптотичні значення поза межами лінійної динаміки не виникають. /// EN: We consider the stochastic evolution equation 𝑑𝑥 = 𝐴𝑥 𝑑𝑡 in a separable Hilbert space 𝐻, whose linear part is generated by a bounded operator 𝐴on the half-line 𝑡 ≥ 0. The stochastic perturbation is driven by a 𝑄-Wiener process, while the nonlinear terms satisfy the assumptions of global Lipschitz continuity and asymptotic smallness. It is established that, under these assumptions, the upper mean-square Lyapunov exponents of solutions to the perturbed system belong to the spectrum 𝑅𝑒(𝜎(𝐴)) of the linear operator. Consequently, the Lyapunov spectrum does not expand: no new asymptotic values beyond those generated by the underlying linear dynamics arise.