Математичне моделювання епідеміологічно-економічної динаміки з нечіткою параметризацією: теоретичні засади, обчислювальна схема та планування експерименту

Abstract

UKR : Стаття присвячена побудові нечіткої компартментальної SIR моделі поширення інфекційного захворювання з інтегрованим економічним субмодулем витрат та розробці відповідного чисельного алгоритму для дослідження впливу нечіткості параметрів на ключові характеристики епідемічного процесу. Актуальність дослідження обумовлена невідповідністю між детермінованим математичним апаратом класичних епідеміологічних моделей та природою реальних епідемічних даних, які демонструють суттєву невизначеність коефіцієнтів передачі інфекції та одужання через варіабельність біологічних характеристик збудника та неповноту статистичних спостережень. У роботі здійснено аналіз сучасних досліджень компартментального моделювання та застосування теорії нечітких множин в епідеміології, який засвідчив необхідність одночасного врахування невизначеності обох параметрів та інтеграції економічної складової безпосередньо в контур динамічного розрахунку. Розроблено математичну постановку задачі на основі класичної SIR-системи диференціальних рівнянь з введенням економічного субмодулю через накопичені витрати. Здійснено формалізацію невизначеності коефіцієнтів β та γ через трикутні нечіткі числа з обґрунтуванням вибору цієї форми функції належності через прозору інтерпретованість параметрів та обчислювальну ефективність, при цьому нечітке базове репродуктивне число визначається операцією нечіткого ділення з використанням розширювального принципу Заде через α-зрізи. Розроблено алгоритм чисельного моделювання на основі методу Рунге-Кутти четвертого порядку з локальною похибкою усічення O(h⁵) та глобальною похибкою O(h⁴), проведено аналіз стійкості та оцінено обчислювальну складність. Для систематичного дослідження впливу трьох факторів (коефіцієнта передачі β, коефіцієнта одужання γ та частки вакцинованих p) застосовано ротатабельний центральний композиційний план з Nexp=20 дослідами. Побудовано квадратичні регресійні моделі для відгуків «пік захворюваності» та «сукупні економічні витрати» з верифікацією через критерій Стьюдента для значущості коефіцієнтів та критерій Фішера для глобальної адекватності. За результатами проведеного дослідження запропо новано методологію, яка забезпечує перехід від якісних тверджень про вплив невизначеності параметрів до кількісних аналітичних залежностей, придатних для підтримки управлінських рішень у сфері охорони здоров'я через форму вання єдиного дослідницького циклу між нечіткою параметризацією SIR динаміки, інтегрованим економічним субмодулем та статистично верифіко ваними регресійними поверхнями відгуку. ENG : The article is devoted to constructing a fuzzy compartmental SIR model of infectious disease spread with an integrated economic cost submodel and developing a corresponding numerical algorithm for studying the impact of parameter fuzziness on key characteristics of the epidemic process. The research relevance is determined by the inconsistency between the deterministic mathematical apparatus of classical epidemiological models and the nature of real epidemic data, which demonstrate substantial uncertainty in infection transmission and recovery coefficients due to pathogen biological characteristic variability and statistical observation incompleteness. The work analyzes modern research on compartmental modeling and fuzzy set theory application in epidemiology, which demonstrated the necessity of simultaneously accounting for both parameter uncertainties and integrating the economic component directly into the dynamic calculation loop. A mathematical problem formulation has been developed based on the classical SIR system of differential equations with economic submodel introduction through accumulated costs. Uncertainty formalization of β and γ coefficients through triangular fuzzy numbers has been performed with justification of this membership function form choice through transparent parameter interpretability and computational efficiency, while the fuzzy basic reproductive number is defined by fuzzy division operation using Zadeh's extension principle through α-cuts. A numerical modeling algorithm based on the fourth-order Runge-Kutta method with local truncation error O(h⁵) and global error O(h⁴) has been developed, stability analysis was performed, and computational complexity was estimated. For systematic investigation of three factors' influence (transmission coefficient β, recovery coefficient γ, and vaccinated fraction p), a rotatable central composite planning with Nexp=20 experiments was applied. Quadratic regression models for responses "disease incidence peak" and "total economic costs" were constructed with verification through Student's criterion for coefficient significance and Fisher's criterion for global adequacy. Based on the research results, a methodology is proposed that ensures transition from qualitative statements about parameter uncertainty impact to quantitative analytical dependencies suitable for supporting management decisions in healthcare through forming a unified research cycle between fuzzy SIR-dynamics parameterization, integrated economic submodel, and statistically verified regression response surfaces.