Призначення центрів кривини інтерполюючої кривої

Abstract

UKR: У статті запропоновано спосіб призначення вихідних даних для формування еволюти монотонної кривої, яка інтерполює задану послідовність точок. До завдань, вирішення яких можливо із застосуванням запропонованого способу належить формування графіків, які описують явища або процеси, а також моделювання на основі безлічі вихідних точок лінійчастих каркасів, що задають поверхню. Контроль наявності особливих точок е важливою умовою для якісного вирішення зазначених завдань. Розв’язання задачі контролю наявності особливих точок у кривої, яка інтерполює заданий точковий ряд, може бути засновано на відмові від аналітичного представлення ділянок кривої. Інтерполююча крива формується у вигляді області можливого розташування її монотонних частин. Основною умовою вирішення задачі є коректне призначення характеристик кривої в вихідних точках. Такими характеристиками є положення нормалей і значення кривини в вихідних точках. Вирішення задачі можливе шляхом формування еволюти монотонної кривої, яка інтерполює заданий точковий ряд. Задача розв’язується у два етапи. По-перше, у всіх вихідних точках призначається положення нормалей інтерполюючої кривої. По-друге, призначається положення центрів кривини на вже призначених нормалях. Положення кожної з нормалей призначається в межах області, границі якої визначенні виходячи з заданих властивостей інтерполюючої кривої лінії. Вихідна область можливого розташування кожної нормалі визначається по координатам п’яти послідовних вихідних точок. Ця вихідна область уточнюється враховуючи одночасне призначення положення нормалей в усіх вихідних точках. Положення кожного центру кривини призначається в межах попередньо визначеного відрізку, який враховує всю область його можливого розташування. Нормалі, призначені у вихідних точках та відрізки, що з’єднують центри кривини, призначені на цих нормалях обмежують ланцюжок 234 трикутників. Ця послідовність трикутників є областю можливого розташування еволюти монотонної кривої, яка інтерполює задану послідовність точок. Задача подальшого формування еволюти зводиться до формування її ділянок у вигляді дуг випуклих кривих, які торкаються нормалей у відповідних центрах кривини. Довжина цих дуг повинна дорівнювати різниці значень радіусів кривини у точках, що обмежують відповідну ділянку інтерполюючої кривої. Призначення положення нормалей та центрів кривини в межах зазначених діапазонів забезпечує можливість формування еволюти, яка задає монотонну регулярну криву лінію, вздовж якої значення кривини змінюються рівномірно і яка інтерполює вихідну послідовність точок. ENG: The article proposes a method for assigning initial data to form an evolution of a monotonic curve interpolating a given sequence of points. The tasks that can be solved using the proposed method include the formation of graphs describing phenomena or processes, as well as modeling, 245 based on a set of starting points, of linear frames that define a surface. Controlling the presence of special points is an important condition for solving these problems qualitatively. The solution to the problem of controlling the presence of special points in the curve interpolating a given point series can be based on the rejection of the analytical representation of the curve sections. The interpolating curve is formed as a region of possible location of its monotonic parts. The main condition for solving the problem is the correct assignment of curve characteristics at the starting points. These characteristics are the position of the normals and the value of the curvature at the starting points. The problem can be solved by forming an evolution of a monotonic curve that interpolates a given point series. The problem is solved in two stages. First, the position of the normal of the interpolating curve is assigned at all starting points. Secondly, the positions of the curvature centers on the already assigned normals are assigned. The position of each normal is assigned within a region whose boundaries are determined based on the specified properties of the interpolating curve line. The initial area of possible location of each normal is determined by the coordinates of five consecutive starting points. This initial area is refined by simultaneously assigning the position of the normal at all starting points. The position of each curvature center is assigned within a predefined segment that takes into account the entire area of its possible location. Normals assigned at the starting points and segments connecting the curvature centers assigned on these normals delimit a chain of triangles. This sequence of triangles is the region of possible location of the monotonic curve evolution that interpolates the given sequence of points. The task of further forming the evolute is to form its sections in the form of arcs of convex curves that touch the normals at the corresponding centers of curvature. The length of these arcs should be equal to the difference in curvature radii at the points that bound the corresponding section of the interpolating curve. Setting the position of the normals and curvature centers within the specified ranges makes it possible to create an evolution that defines a monotonic regular curve line along which the curvature values change uniformly and that interpolates the original sequence of points.