Моделювання сферичних та циліндричних квантових точок

Abstract

UK: Розглянуто найпростіші моделі 3D просторових квантових точок: сферичної та циліндричної. Математичне, комп’ютерне моделювання стану електронів у кванторозмірних структурах використовується при розробці імітаційних лабораторних робіт з курсу «Фізичні основи сучасних інформаційних технологій» для магістрів спеціальності «Комп’ютерні науки та інформаційні технології проектування». При комп’ютерному моделюванні застосовується математичний пакет Mathcad. Особливий інтерес представляє розгляд поведінки електрона у випадку просторових потенціальних ям зі стінками кінцевої висоти. Квантові точки (КТ – Quantum Dots) використовують в елементній базі наноелектроніки, в першу чергу при створенні дисплеїв четвертого покоління (AMOLED-технологія), які приходять на зміну рідинно кристалічним дисплеям. Крім того, перспективним є створення лазерів на КТ. Властивості квантових точок (дискретний спектр значень власної енергії) залежить від їх форми, розмірів та матеріалу (величини ефективної маси носіїв заряду). Важливу роль грають також граничні умови – вид потенціалу, який обмежує рух електронів. Найпростіша модель КТ є тривимірна нескінченно глибока просторова потенціальна яма. Але реальні квантові точки (як з оболонкою, так і без) мають потенціальні стінки кінцевої висоти, тому моделювання електронної структури та визначення хвильової функції і щільності ймовірності у цьому випадку є актуальною задачею. Розглядається розв’язування рівняння Шредінгера для хвильової функції стаціонарних станів S-електронів у сферичній та циліндричній системах координат. Отримані у першому наближенні власні значення енергії, вид хвильової функції та щільності ймовірності знаходження електрона в заданій області простору. RU: Рассмотрены простейшие модели 3D пространственных квантовых точек: сферической и цилиндрической. Математическое, компьютерное моделирование состояния электронов в кванторозмерних структурах используется при разработке имитационных лабораторных работ по курсу «Физические основы современных информационных технологий» для магистров специальности «Компьютерные науки и информационные технологии проектирования». При компьютерном моделировании применяется математический пакет Mathcad. Особый интерес представляет рассмотрение поведения электрона в случае пространственных потенциальных ям со стенками конечной высоты. Квантовые точки (КТ – Quantum Dots) используют в элементной базе наноэлектроники, в первую очередь при создании дисплеев четвертого поколения (AMOLED-технология), которые приходят на смену жидкостно кристаллическим дисплеям. Кроме того, перспективным является создание лазеров на КТ. Свойства квантовых точек (дискретный спектр значений собственной энергии) зависит от их формы, размеров и материала (величины эффективной массы носителей заряда). Важную роль играют также граничные условия – вид потенциала, который ограничивает движение электронов. Простейшая модель КТ является трехмерная бесконечно глубокая пространственная потенциальная яма. Но реальные квантовые точки (как с оболочкой, так и без) имеют потенциальные стенки конечной высоты, поэтому моделирование электронной структуры и определения волновой функции и плотности вероятности в этом случае является актуальной задачей. Рассматривается решение уравнения Шредингера для волновой функции стационарных состояний S-электронов в сферической и цилиндрической системах координат. Полученные в первом приближении собственные значения энергии, вид волновой функции и плотности вероятности нахождения электрона в заданной области пространства. EN: The simplest models of 3D spatial quantum dots are considered: spherical and cylindrical. Mathematical, computer simulation of the state of electrons in quantum-size structures is used in the development of simulation laboratory work in the course "Physical Foundations of Modern Information Technologies" for masters of specialty "Computer Science and Information Technology Design". In computer simulation, Mathcad is used. It is of particular interest to consider the behavior of the electron in the case of spatial potential wells with finite-height walls. Quantum Dots (Quantum Dots CT) are used in the element base of nanoelectronics, primarily in the creation of fourth generation displays (AMOLED technology), which are replaced by liquid crystal displays. In addition, the creation of CT lasers is promising. The properties of quantum dots (the discrete range of eigenvalues) depend on their shape, size and material (the magnitude of the effective mass of charge carriers). Boundary conditions also play an important role - the kind of potential that limits electron movement.The simplest CT model is a three-dimensional infinitely deep spatial potential well. But real quantum dots (both with and without shell) have potential finite-height walls, so modeling electronic structure and determining the wave function and probability density in this case is an urgent task. The solution of the Schrödinger equation for the wave function of steady states of S-electrons in spherical and cylindrical coordinate systems is considered. The eigenvalues obtained in the first approximation, the type of wave function, and the probability of finding an electron in a given region of space are obtained.