Моделювання ділянки обводу із монотонною зміною кривини

Abstract

UK: У роботі запропоновано метод моделювання плоских дискретно представлених кривих (ДПК) із закономірною зміною диференціально-геометричних характеристик. Формування кривої за допомогою розробленого методу передбачає проведення попереднього аналізу вихідної ДПК, в результаті якого визначаються діапазони можливих, за умовами задачі, значень диференційно-геометричних характеристик в її точках; призначення конкретних положень дотичних і значень радіусів кривини всередині отриманих діапазонів; локальне згущення ділянок кривої, в процесі якого забезпечуються призначені характеристики та монотонна зміна радіусів кривини всередині ділянки. Положення точок згущення призначаються всередині області можливого розташування кривої, визначеної виходячи з умов, які на неї накладаються: відсутність осциляції, другий порядок гладкості, монотонна зміна радіусів кривини. На кожному кроці згущення можна сформувати проміжний розв’язок - обвід з дуг кривих Без’є, що стикуються з другим порядком гладкості. Запропоновані алгоритми дозволяють формувати обводи з монотонною зміною радіусів кривини нульового, першого і другого порядків фіксації. При цьому забезпечується можливість як завгодно локального коригування форми обводу при контролі значень характеристик в його точках. RU: В работе предложен метод моделирования плоских дискретно представленных кривых (ДПК) с закономерным изменением дифференциально-геометрических характеристик. Формирование кривой с помощью разработанного метода предполагает проведение предварительного анализа исходной ДПК, в результате которого определяются диапазоны возможных, по условиям задачи, значений дифференциально-геометрических характеристик в ее точках; назначение конкретных положений касательных и значений радиусов кривизны внутри полученных диапазонов; локальное сгущение участков кривой, в процессе которого обеспечиваются ранее назначенные характеристики и монотонное изменение радиусов кривизны внутри участка. Положения точек сгущения назначаются внутри области возможного расположения кривой, определенной исходя из условий, которые на нее накладываются: отсутствие осцилляции, второй порядок гладкости, монотонное изменение радиусов кривизны. На каждом шаге сгущения можно сформировать промежуточное решение – обвод из дуг кривых Безье, состыкованных со вторым порядком гладкости. Предложенные алгоритмы позволяют формировать обводы с монотонным изменением радиусов кривизны нулевого, первого и второго порядков фиксации. При этом обеспечивается возможность сколь угодно локальной корректировки формы обвода при контроле значений характеристик в его точках. EN: The method of modeling plane discretely presented curves (DPC) with a regular change of differential geometric characteristics is proposed in this article. Curve formation using the developed method involves a preliminary analysis of the initial DPC, which determines the ranges of possible, according to the conditions of the problem, values of differential-geometric characteristics at its points; assignment of specific tangent positions and values of the radiuses of curvature within the obtained ranges; local condensation of sections of the curve, during which previously assigned characteristics and a monotonic change in the radiuses of curvature within the section are provided. The positions of the condensation points are assigned within the region of the possible location of the curve, determined on the basis of the conditions that are imposed on it: the absence of oscillations, the second order of smoothness, a monotonic change in the radiuses of curvature. At each step of the condensation, an intermediate solution can be formed - a contour from arcs of Bezier curves joined to the second order of smoothness. The proposed algorithms allow the formation of contours with a monotonic change in the radii of curvature of zero, first and second orders of fixation. This provides the possibility of arbitrarily local adjustment of the shape of the contour when monitoring the values of the characteristics at its points.