Формирование области расположения кривой с монотонным изменением кривизны

Abstract

RU: В работе рассматривается задача моделирования плоских одномерных обводов по заданным условиям. Разработана геометрическая схема и алгоритм для формирования обводов с монотонным изменением дифференциально-геометрических характеристик: положений касательных к обводу и значений кривизны в его точках. Исходными данными для формирования обвода являются координаты принадлежащих ему точек, порядок гладкости и характер изменения характеристик вдоль обвода. Параметрами управления формой обвода являются положения центров кривизны и нормалей к кривой, которые назначаются в исходных точках. Кривая моделируется по предварительно сформированной эволюте, которая представляет собой выпуклый обвод первого порядка гладкости. Эволюта монотонной кривой формируется с учетом следующих требований: эволюта является выпуклой кривой; нормали к кривой являются касательными к эволюте, которая ее определяет; длина эволюты равна разности радиусов кривизны в точках, ограничивающих соответствующий участок кривой. Обвод формируется внутри области возможного расположения кривой, отвечающей задачи. Ограниченность диапазона решения позволяет контролировать отсутствие осцилляции и обеспечивать необходимые требования к характеристикам и гладкости обвода. Особенностью метода является многократное повторение расчетных алгоритмов, которое приводит к замене с заданной точностью исходного геометрического образа сопровождающей ломаной линией Программное обеспечение, разработанное на основе предложенных в работе алгоритмов, может быть использовано при моделировании линейных элементов каркаса поверхностей с повышенными динамическими качествами. Повышенные динамические свойства необходимы поверхностям, которые взаимодействуют со средой и ограничивают корпусные изделия авиа-, автомобиле-, судостроения, лопатки турбин, каналы двигателей внутреннего сгорания, трубопроводы, рабочие органы сельскохозяйственных машин. UK: У роботі розглядається задача моделювання плоских одновимірних обводів за заданими умовами. Розроблена геометрична схема та алгоритм для формування обводів з монотонною зміною диференційно-геометричних характеристик: положень дотичних до обводу та значень кривини в його точках. Вихідними даними для формування обводу є координати йому точок, які йому належать, порядок гладкості та характер зміни характеристик уздовж обводу. Параметрами управління формою обводу є положення центрів кривини та нормалей, які визначаються у вихідних точках. Крива моделюється на основі попередньо сформованої еволюти, яка представляє собою опуклий обвід першого порядку гладкості. Еволюта монотонної кривої формується з урахуванням наступних вимог: еволюта є опуклою кривою; нормалі до кривої є дотичними до еволюти, яка її визначає; довжина еволюти дорівнює різниці радіусів кривини в точках, що обмежують відповідну ділянку кривої. Обвід формується всередині області можливого розташування кривої, що відповідає задачі. Обмеженість діапазону розв’язку дозволяє контролювати відсутність осциляції і забезпечувати необхідні вимоги до характеристик і гладкості обводу. Особливістю методу є багаторазове повторення розрахункових алгоритмів, яке призводить до заміни із заданою точністю вихідного геометричного образу супроводжуючою ламаною лінією. Програмне забезпечення, розроблене на основі запропонованих в роботі алгоритмів, може бути використано при моделюванні лінійних елементів каркасу поверхонь з підвищеними динамічними якостями. Підвищені динамічні властивості необхідні поверхням, які взаємодіють з середовищем і обмежують корпусні вироби авіа-, автомобіле-, суднобудування, лопатки турбін, канали двигунів внутрішнього згоряння, трубопроводи, робочі органи сільськогосподарських машин. EN: The paper deals with the problem of modeling flat one-dimensional contours under specified conditions. A geometrical scheme and an algorithm have been developed for the formation of contours with a monotonic change in differential geometric characteristics: the positions of the tangents to the contour and the values of curvature at its points. The initial data for the formation of the contour are the coordinates of the points belonging to it, the order of smoothness and the nature of the change in characteristics along the contour. The options for controlling the shape of the path are the positions of the centers of curvature and normals to the curve, which are assigned at the origin. The curve is modeled according to a previously formed evolve, which is a convex outline of the first order of smoothness. The evolution of a monotone curve is formed taking into account the following requirements: the evolution is a convex curve; the normals to the curve are tangent to the evolution that defines it; the length of the evolute is equal to the difference between the radii of curvature at the points bounding the corresponding section of the curve. The contour is formed inside the area of possible location of the curve corresponding to the task. The limited range of the solution allows you to control the absence of oscillations and provide the necessary requirements for the characteristics and smoothness of the bypass. A feature of the method is the multiple repetition of the computational algorithms, which leads to the replacement with a given accuracy of the original geometric image by the accompanying broken line The software developed on the basis of the algorithms proposed in the work can be used to simulate linear elements of the frame of surfaces with increased dynamic qualities. Increased dynamic properties are required for surfaces that interact with the environment and restrict body products of aircraft, automobile, shipbuilding, turbine blades, channels of internal combustion engines, pipelines, working bodies of agricultural machines.