Моделювання стану електронів у конічних квантових точках

Abstract

UK: Розглядається рівняння Шредінгера для стаціонарних станів електронів (носіїв електричного заряду) у конічній квантовій точці (ККТ). Отримані хвильові функції, щільність ймовірності, хвильові числа і власні значення енергії для S — електронів та вивчена їх залежність від параметрів ККТ: діаметра основи D та висоти Н. Використовується циліндрична система координат та метод Фур’є розділення змінних. Крім того, розглянуто наближення Вентцеля-Крамерса-Брилюєна (ВКБ — метод) для визначення власних значень енергії електрона. Використана умова нормування хвильової функції та отримано значення амплітуди хвильової функції для стаціонарних станів електрона. Для випадку ККТ власна енергія електрона стаціонарного стану у наближенні ефективної маси залежить від координати z на відміну від циліндричної квантової точки. Розглянуто максимально і мінімально допустимі значення координати z та відповідні значення власної енергії основного стану електрона при наступних параметрах ККТ: D = 8 нм, H = 10 нм. Побудовано 3D графіки дискретної моделі щільності ймовірності знаходження електрона у заданій області ККТ для випадку різних радіальних та аксіальних мод хвильової функції. Також розглянуто деякі види можливих стоячих електронних хвиль у ККТ та застосована умова Бора-Зоммерфельда квантування орбіт (нульове наближення метода Вентцеля-Крамерса-Брилюєна) для отримання значень власної енергії електрона для відповідних мод. Для математичного моделювання та отримання дискретної моделі щільності ймовірності знаходження електрона в заданій області конічної квантової точки використані математичні пакети MathСad та Scilab. Квантові точки знаходять широке застосування у наноелектроніці, наприклад: монітори (QLED — технології), інжекційні напівпровідникові лазери для волоконної оптики, сенсори та інше. Тому перспективним та актуальним є розробка наближених, спрощених моделей для розгляду фінітного руху носіїв заряду у конічній квантовій точці, які можуть бути використані у лабораторному практикумі курсу «Фізичні основи сучасних інформаційних технологій» спеціальності «Комп’ютерні науки». EN: This paper is devoted to the study of solutions of the stationary Schrodinger equation for the case of a conical quantum dot (CQD). We obtained wave numbers and functions, probability density, and energy eigen values for s-electrons, and studied how they depend on the geometrical parameters of a CQD (diameter D and height H). We used the WentzelKramers-Brillouin method to calculate the energy eigen values. We used the wave function normalization condition to obtain the wave function amplitude for electron stationary states. The energy eigen states of a stationary electron in the effective mass approximation depends on z-coordinate in case of a CQD, unlike the case of a cylindrical quantum dot. We consider the z-coordinate limits for respective energy eigen values for a CQD with D = 8 nm and H = 10 nm. We plot 3D distribution of the electron probability density in a CQD for axial and radial wave function modes. We also consider the standing electron waves in a CQD with energy eigen values obtained using the Bohr-Sommerfeld quantization condition (0th approximation of the Wentzel-Kramers-Brillouin method). The spatial probability density discrete modelling is performed in MathCad and Scilab environment. Computer and mathematical simulations have been widely employed in modern engineering.Based on the results of this research we developed a computer modelling laboratory work «Modelling of electronic states in a conical quantum dot». Quantum dots have found various applications in nanoelectronics, for example QLED screens, semiconductor lasers for fiber optics, sensors etc. Therefore, the development of simplified models of finite movement of charge carriers in a quantum dot is the promising direction of a laboratory course «Physical fundamentals of modern information technologies» for «Computer sciences» students.